Examen Simulador de Geometría Analítica IPN 2027: Preguntas y Temario Oficial

Respuesta Paso a Paso:

1. \alpha señala las rectas punteadas: asíntotas → D.
2. \beta es el punto del eje por donde pasa el segmento vertical: foco → C.
3. \delta es el punto donde la rama corta al eje: vértice → A.
4. \theta es el segmento perpendicular al eje que pasa por el foco: lado recto → B.

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: 1D, 2C, 3A, 4B

Respuesta Paso a Paso:

1. 9y^{2}+3x^{2}=9\Rightarrow\dfrac{x^{2}}{3}+\dfrac{y^{2}}{1}=1
2. Ambos cuadrados con signo positivo y denominadores distintos: elipse con centro en el origen.
3. El denominador mayor (3) está bajo x^{2}: eje mayor horizontal.

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: Elipse horizontal con centro en el origen

❌ Respuesta Incorrecta:

Respuesta Paso a Paso:

1. De x=-2-7y: 3(-2-7y)+15y=4\Rightarrow y=-\tfrac{5}{3}, x=\tfrac{29}{3}
2. Radio: r=\left|-\tfrac{5}{3}-1\right|=\tfrac{8}{3}
3. \left(x-\tfrac{29}{3}\right)^{2}+\left(y+\tfrac{5}{3}\right)^{2}=\tfrac{64}{9}
4. Multiplica por 9: 9x^{2}-174x+841+9y^{2}+30y+25=64\Rightarrow 9x^{2}+9y^{2}-174x+30y+802=0

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: 9x^{2}+9y^{2}-174x+30y+802=0

Respuesta Paso a Paso:

1. r=\sqrt{(-4)^{2}+(-3)^{2}}=5
2. Ángulo de referencia: \arctan\tfrac{3}{4}\approx36.86^{\circ}
3. Tercer cuadrante: \theta=180^{\circ}+36.86^{\circ}=216.86^{\circ}

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: r=5,\ \theta=216.86^{\circ}

Respuesta Paso a Paso:

1. y-x^{2}-3x+3=0
2. Sustituye: r\,\operatorname{sen}\alpha-r^{2}\cos^{2}\alpha-3r\cos\alpha+3=0
3. Agrupa: r\,\operatorname{sen}\alpha-r^{2}\cos^{2}\alpha-3(r\cos\alpha-1)=0

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: r\,\operatorname{sen}\alpha-r^{2}\cos^{2}\alpha-3(r\cos\alpha-1)=0

Respuesta Paso a Paso:

1. (x^{2}-10x+25)+(y^{2}+12y+36)=-25+25+36
2. (x-5)^{2}+(y+6)^{2}=36
3. Centro (5,-6) y radio R=\sqrt{36}=6 (36 es R^{2}, no el radio).

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: C(5,-6),\ R=6

Respuesta Paso a Paso:

1. Primera: (x+2)^{2}+(y-3)^{2}=5 → centro (-2,3), r_1=\sqrt{5}
2. Segunda: (x-4)^{2}+y^{2}=20 → centro (4,0), r_2=2\sqrt{5}
3. Distancia entre centros: \sqrt{6^{2}+3^{2}}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}=r_1+r_2
4. Si la distancia es igual a la suma de radios, se tocan en un solo punto por fuera: tangentes externas.

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: Tangentes externas

Respuesta Paso a Paso:

1. r^{2}=7^{2}+3^{2}=49+9=58
2. x^{2}+y^{2}=58\Rightarrow x^{2}+y^{2}-58=0

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: x^{2}+y^{2}-58=0

Respuesta Paso a Paso:

1. Hipérbola: x^{2} y y^{2} con signos opuestos → B.
2. Parábola: solo aparece y^{2} → D.
3. Elipse: mismo signo y coeficientes distintos (9 y 25) → A.
4. Circunferencia: mismo signo e iguales coeficientes → C.

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: 1B, 2D, 3A, 4C

Respuesta Paso a Paso:

1. La recta dada corta los ejes en a=5 y b=-7: m=-\dfrac{-7}{5}=\dfrac{7}{5}
2. Perpendicular: m_{\perp}=-\dfrac{5}{7}
3. y=-\dfrac{5}{7}x-5\Rightarrow 7y=-5x-35\Rightarrow 5x+7y+35=0

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: 5x+7y+35=0

Respuesta Paso a Paso:

1. x_m=\dfrac{3+9}{2}=6
2. y_m=\dfrac{-6+4}{2}=-1

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: (6,\,-1)

Respuesta Paso a Paso:

1. \left(4,\tfrac{\pi}{2}\right)\to(4\cos\tfrac{\pi}{2},\ 4\,\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{2})=(0,\,4)
2. d=\sqrt{(0-2)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: 2\sqrt{5}

❌ Respuesta Incorrecta:

Respuesta Paso a Paso:

1. 9x^{2}+9y^{2}=27\Rightarrow x^{2}+y^{2}=3
2. x^{2}+y^{2}=r^{2}\Rightarrow r^{2}=3

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: r^{2}=3

Respuesta Paso a Paso:

1. A=65,\ B=-24,\ C=20
2. B^{2}-4AC=576-5200=-4624<0[/latex]</li> <li>Discriminante negativo y [latex]A\neq C: es una elipse (rotada).

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: Elipse

Respuesta Paso a Paso:

1. De x=a\cos\theta,\ y=b\,\operatorname{sen}\theta se obtiene \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=\cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta=1: una elipse.
2. Con el mismo coeficiente r en ambas (opciones c y d) se obtiene una circunferencia.

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: x=a\cos\theta,\ y=b\,\operatorname{sen}\theta

Respuesta Paso a Paso:

1. 2r\cos\theta+6r\,\operatorname{sen}\theta=1
2. Factoriza 2r: 2r(\cos\theta+3\,\operatorname{sen}\theta)=1
3. 2r=\dfrac{1}{\cos\theta+3\,\operatorname{sen}\theta}

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: 2r=\dfrac{1}{\cos\theta+3\,\operatorname{sen}\theta}

Respuesta Paso a Paso:

1. 4(x+2)^{2}-16+(y-3)^{2}-9+9=0\Rightarrow\dfrac{(x+2)^{2}}{4}+\dfrac{(y-3)^{2}}{16}=1
2. Centro (-2,3); a^{2}=16,\ b^{2}=4 (eje mayor vertical).
3. Lado recto: \dfrac{2b^{2}}{a}=\dfrac{8}{4}=2
4. c=\sqrt{16-4}=\sqrt{12} → distancia entre focos 2\sqrt{12}

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: c(-2,3),\ 2,\ 2\sqrt{12}

Respuesta Paso a Paso:

1. y^{2}-10(y+1)+2y-3=0\Rightarrow y^{2}-8y-13=0
2. y=\dfrac{8\pm\sqrt{64+52}}{2}=4\pm\sqrt{29}
3. x=y+1=5\pm\sqrt{29}

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: \left(5\pm\sqrt{29},\,4\pm\sqrt{29}\right)