Examen Simulador de Cálculo Diferencial IPN 2027: Preguntas y Temario Oficial

Respuesta Paso a Paso:

1. En -5<x<5[/latex], [latex]y=\sqrt{25-x^2}[/latex] es la mitad superior de un círculo de radio 5, sin incluir los extremos (círculos vacíos en ±5).</li> <li>Para [latex]x>5, y=-\sqrt{x^2-25} empieza en (5, 0) sin incluirlo y baja.
2. Para x<-5[/latex], [latex]y=-\sqrt{x^2+25}[/latex] empieza cerca de [latex](-5,-\sqrt{50})\approx(-5,-7.1)[/latex] con círculo vacío y baja hacia la izquierda.
3. La única figura con las tres partes así es la c).

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: Figura c)

Respuesta Paso a Paso:

1. Para que el límite exista, los límites laterales en x=2 deben ser iguales.
2. Por la izquierda: \lim_{x\to 2^-}(5x-1)=9.
3. Por la derecha: \lim_{x\to 2^+}(x^2+p)=4+p.
4. Igualamos: 4+p=9, así que p=5.

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: p = 5

Respuesta Paso a Paso:

1. En la gráfica, la curva sube hasta x=-1 y luego baja: ahí hay un máximo relativo de altura 4, el punto (-1,4).
2. Después baja hasta x=1 y vuelve a subir: ahí hay un mínimo relativo de altura −4, el punto (1,-4).
3. Los puntos con ∞ no son puntos de la gráfica y el origen solo es un cruce con los ejes.

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: Máximo: (−1, 4); Mínimo: (1, −4)

Respuesta Paso a Paso:

1. Regla: \frac{d}{dx}a^{u}=a^{u}\ln a\cdot u' con a=7 y u=-5x^3, u'=-15x^2.
2. f'(x)=\frac{2}{3}\cdot 7^{-5x^3}\ln 7\cdot(-15x^2)=-10(\ln 7)x^2\,7^{-5x^3}.
3. Como 7^{-5x^3}=\frac{1}{7^{5x^3}}: f'(x)=-10(\ln 7)x^2\frac{1}{7^{5x^3}}.

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: -10(\ln 7)x^2\frac{1}{7^{5x^3}}

Respuesta Paso a Paso:

1. Al sustituir t=4 sale \frac{0}{0}.
2. Factorizamos como diferencia de cuadrados: t-4=(\sqrt{t}-2)(\sqrt{t}+2).
3. Simplificamos: \lim_{t\to 4}(\sqrt{t}+2)=2+2=4.

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: 4

Respuesta Paso a Paso:

1. Regla de la cadena: y'=-4(-2)(\sqrt{x}-x)^{-3}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-1\right).
2. Simplificamos: y'=\frac{8}{(\sqrt{x}-x)^3}\cdot\frac{1-2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}.
3. Resultado: y'=\frac{4(1-2\sqrt{x})}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-x)^3}.

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: \frac{4(1-2\sqrt{x})}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-x)^3}

Respuesta Paso a Paso:

1. Despejamos la curva: x=3x^2y-2y^4.
2. Derivamos implícitamente: 1=6xy+3x^2y'-8y^3y'.
3. En (1,1): 1=6+3y'-8y', así que y'=1 (pendiente de la tangente).
4. La normal es perpendicular: pendiente m=-1. Recta: y-1=-(x-1), es decir x+y-2=0.

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: x + y − 2 = 0

Respuesta Paso a Paso:

1. 1. 2-2e^{-x^2}\to 2 cuando x\to\infty: curva que se acerca a 2 → A.
2. 2. \frac{3}{3x+2}\to 0 cuando x\to\infty: curva que baja hacia el eje x → C.
3. 3. \frac{1}{(x-2)^2}\to\infty cuando x\to 2: crece sin límite a ambos lados de x = 2 → B.
4. 4. La función por partes tiene dos tramos distintos a cada lado de x = 2 → D.

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: 1A, 2C, 3B, 4D

Respuesta Paso a Paso:

1. Una función continua en un intervalo se dibuja sin levantar el lápiz.
2. En la gráfica a) la curva se corta cerca de x=2 y reaparece más arriba: hay un salto (discontinuidad).
3. Las gráficas b), c) y d) se trazan de un solo trazo en (1, 3).

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: Gráfica a)

Respuesta Paso a Paso:

1. Lo de adentro de la raíz debe ser no negativo: 4x-2x^2\ge 0\Rightarrow 2x(2-x)\ge 0, o sea 0\le x\le 2.
2. El denominador no puede ser cero: x\ne 2.
3. Dominio: [0,2).

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: [0,2)

Respuesta Paso a Paso:

1. La derivada es el límite del cociente de incrementos: cambio de la función entre cambio de x.
2. Cuando x aumenta \Delta x, la función cambia f(x+\Delta x)-f(x).
3. Por eso f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}. Las demás opciones tienen el signo invertido o no usan el incremento correcto.

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Respuesta Paso a Paso:

1. Sustituimos x=t^6 (con t\to 0^+): \sqrt{x}=t^3, \sqrt[6]{x}=t, \sqrt[3]{x}=t^2.
2. El límite queda \lim_{t\to 0}\frac{t^3}{t-t^2}=\lim_{t\to 0}\frac{t^2}{1-t}.
3. Evaluamos: \frac{0}{1}=0.

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: 0

Respuesta Paso a Paso:

1. Factorizamos el denominador: 3x^3-12x=3x(x^2-4)=3x(x-2)(x+2).
2. El denominador vale cero en x=-2, x=0 y x=2: ahí la función no está definida.
3. Una función racional es continua en todo su dominio: (-\infty,-2)\cup(-2,0)\cup(0,2)\cup(2,\infty).

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: (-\infty,-2)\cup(-2,0)\cup(0,2)\cup(2,\infty)

Respuesta Paso a Paso:

1. La función vale −1 para x > 0 y 1 para x < 0.
2. En x=0 no está definida y los límites laterales son distintos (1 y −1).
3. En cualquier otro punto la función es constante en su tramo, así que es continua. Solo falla en cero.

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: Solo en cero

Respuesta Paso a Paso:

1. El denominador no puede ser cero: x^2-1=0 cuando x=\pm 1.
2. Todos los demás números reales son válidos.
3. Dominio: (-\infty,\infty),\ x\ne\pm 1.

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: D_f=(-\infty,\infty),\ x\ne\pm 1

Respuesta Paso a Paso:

1. La desigualdad |x-a|<b[/latex] describe los números a una distancia menor que b del centro a: el intervalo [latex](a-b,\,a+b)[/latex].</li> <li>El centro de [latex](1,2) es el punto medio: a=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}.
2. El radio es la mitad de la longitud: b=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}. Comprobación: \left|x-\frac{3}{2}\right|<\frac{1}{2}[/latex] da [latex]1<x<2[/latex].</li> </ol> <p>Por lo tanto la Respuesta Correcta es: <b>[latex]a=\frac{3}{2},\ b=\frac{1}{2}

Respuesta Paso a Paso:

1. Dividimos numerador y denominador entre y^2: \frac{5-\frac{2}{y}+\frac{3}{y^2}}{1+\frac{4}{y}-\frac{5}{y^2}}.
2. Cuando y\to\infty, las fracciones con y en el denominador tienden a 0.
3. El límite es \frac{5}{1}=5 (cociente de los coeficientes principales).

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: 5

Respuesta Paso a Paso:

1. En el denominador domina 2x^4: \sqrt{x^3+2x^4}\approx\sqrt{2}\,x^2.
2. En el numerador domina 3x^2.
3. El límite es \frac{3x^2}{\sqrt{2}\,x^2}=\frac{3}{\sqrt{2}}.

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: \frac{3}{\sqrt{2}}

Respuesta Paso a Paso:

1. Escribimos con exponentes: f(t)=t^{-2}+t^{-1}-t^{-1/2}.
2. Derivamos cada término: f'(t)=-2t^{-3}-t^{-2}+\frac{1}{2}t^{-3/2}.
3. En forma de fracción: f'(t)=-\frac{2}{t^3}-\frac{1}{t^2}+\frac{1}{2\sqrt{t^3}}.

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: -\frac{2}{t^3}-\frac{1}{t^2}+\frac{1}{2\sqrt{t^3}}

Respuesta Paso a Paso:

1. Simplificamos: \frac{2}{6}x=\frac{1}{3}x.
2. Pasamos las x a un lado: \frac{1}{3}x-\frac{4}{3}x\le -2+\frac{3}{4}, o sea -x\le-\frac{5}{4}.
3. Multiplicamos por −1 (se invierte el signo): x\ge\frac{5}{4}. Intervalo: \left[\frac{5}{4},\infty\right).

Por lo tanto la Respuesta Correcta es: \left[\frac{5}{4},\infty\right)